1. Операції псевдообернення та проектування

В даному розділі даються основні поняття з класичної лінійної алгебри. Буде дано одне з кількох визначень псевдооберненої матриці, через яку знаходиться загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Також будуть наведені деякі методи обчислення псевдообернених прямокутних матриць [1].

1.1. Псевдообернені оператори

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

, (1.1)

де , вектор розмірності . Систему (1.1) можна ще представити у векторному вигляді

, . (1.2)

Тут введені наступні позначення

.

При розв'язанні системи алгебраїчних рівнянь можливі наступні варіанти розв'язків.

1 Існує єдиний розв'язок системи (1.1), тобто існує єдиний вектор , який задовольняє систему векторних рівнянь (1.2) (мал. 1.1).

Мал. 1.1

2 Існує множина розв'язків системи (1.1) (мал. 1.2).

Мал. 1.2

Тобто існує множина векторів , які задовольняють систему (1.1).

3

Розв'язку системи (1.1) не існує, але можна вказати єдиний вектор , який буде знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин системи (1.1) (мал. 1.3).

Мал. 1.3

4 Розв'язку системи (1.1) не існує, але можна вказати множину векторів , які будуть знаходитись на найближчій відстані до всіх гіперплощин системи (1.1) (мал. 1.4).

Мал. 1.4

Для матриці розмірності в полі дійсних чисел псевдо-обернена матриця розмірності визначається наступним чином.

Для

,

де .

1.2. Алгоритми псевдоінверсії матриць

Існує декілька методів представлення псевдооберненої матриці [1, 5]. Наведемо деякі з них.

1.2.1. Метод скелетизації матриць

Для будь-якої матриці розмірності можливий такий розклад

,

де , і мають відповідно розмірності . Тоді

.

1.2.2. Метод сингулярного представлення

Кожна прямокутна матриця розмірності допускає сингулярне представлення у виді

,

де , - нормовані власні вектори матриці ,тобто

- нормовані власні вектори матриці , тобто

Псевдообернена до матриця має наступне сингулярне представлення

1.2.3. Метод Мура-Пенроуза

Якщо матриця розмірності , то псевдообернену матрицу можна представити наступною формулою

.

Формулу використовують, коли m<n. - одинична матриця розмірності m.

,

Співвідношення зручніше використовувати при m>n, - одинична матриця розмірності n.

1.3. Проекційні оператори

Матриця є проекційною, яка довільний вектор проектує на лінійну оболонку, що натягнута на власні вектор-рядки матриці . Справді,

.

Для будь-якого вектора маємо , де . Неважко бачити, що вектор є проектується на підпростір, базисом якого є лінійно-незалежні вектор-рядки матриці .

Розглянемо тепер матрицю такого вигляду

.

Тут- одинична матриця розмірності . Відомо ,що .Тобто, якщо ортонормований базис матриці доповнити деякими ортонормованими векторами до повного ортонормованого базису простору .

Отже . Тобто, - це теж проекційна матриця, але на ортогональне доповнення до лінійної оболонки, натягнутої на власні вектор-рядки матриці.

Крім матриці слід згадати про такі важливі матриці, які теж являються проекційними

– проекційна матриця на ортогональне доповнення до лінійної оболонки, натягнутої на власні вектор-стовпчики матриці.

Приведемо декілька корисних співвідношень, в справедливості кожного з яких можна легко переконатися, записавши сингулярний розклад матриць

,

,

,

,

,

,

,

,

.